Savings bank

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수학의 집합론 및 관련 분야에서, 폰 노이만 전체(von Neumann universe) 혹은 집합의 폰 노이만 위계는 모든 집합의 모임(즉, 전체모임)에 초한 위계를 준 것이다. 초한반복을 이용해 다음과 같이 정의할 수 있다:

먼저, V₀을 공집합 {}으로 놓자.
임의의 서수 α에 대해, V_α+1은 V_α의 멱집합이다.
임의의 극한서수 λ에 대해, V_λ를 이전 단계 V_α들을 전부 합집합한 것으로 정의한다:

$V_\lambda := \bigcup_{\alpha < \lambda} V_\alpha \!$ .

마지막으로, V는 모든 서수 α에 대해 V_α들의 합모임으로 정의한다:

$V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha \!$ .

이와 동치인 정의로, 임의의 서수 α에 대해 $V_\alpha := \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta) \!$ 로 놓아도 된다. (여기에서 $\mathcal{P}\!$ 는 멱집합을 나타냄.)

V와 집합론

자연수의 집합을 ω로 쓰자. 그러면 V_ω는 유전적 유한집합들의 집합이 되며, 이는 무한공리를 가정하지 않는 집합론의 모형이 된다. κ가 도달 불가능한 기수일 경우 V_κ는 체르멜로-프란켈 집합론의 모형이며, V_κ+1은 모스-켈리 집합론의 모형이다.

V는 "모든 집합의 집합"이 아님에 유의할 것. 각각의 V_α는 집합이지만, 그들 전부의 합모임 V는 진모임이기 때문이다.

임의의 집합 A에 대해, V_α가 A를 부분집합으로 포함하는 가장 작은 서수 α를 A의 계수(rank)라 한다.

함께 보기

존 폰 노이만

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8F%B0_%EB%85%B8%EC%9D%B4%EB%A7%8C_%EC%A0%84%EC%B2%B4’

분류: 전체

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